什么是拐点拐点概述

　　对于由离散点表示的数字地图与GIS图形数据 ,本文首先利用两相邻矢量叉积乘积的原理来判定拐点所在的折线边，什么是拐点呢？下面是我整理的什么是拐点，欢迎阅读。

　　什么是拐点

　　拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点(即曲线的凹凸分界点)。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号(由正变负或由负变正)或不存在。在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方(例如：经济运行出现回升拐点)

　　拐点概述

　　数学

　　可以这样通俗的理解拐点，即在a点的左右f ""(x)的正负发生变化的点，f ""(a)异号(由正变负或由负变正)或者不存在。

　　在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点。

　　拐点定义(根据高等数学同济6版上册第151页)

　　一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点(除端点外的I内的点)。如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。

　　凹的充分条件:

　　若曲线y=f(x)(a≤x≤b)的一段，位于其任意一点的切线之上(或之下)，则称这个可微分的函数y=f(x)的图形于闭区间[a,b]上是凹(或对应地，凸)的。在假设二阶导函数f"(x)存在的情况下，当a0[或对应地f"(x)<0]成立，为图形是凹(或对应地，凸)的充分条件。

　　拐点的必要条件：设f(x)在(a,b)内二阶可导，x0∈(a,b)，若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，则f‘"(x0)=0。

　　拐点的充分条件：设f(x)在(a,b)内二阶可导，x0∈(a,b)，则f‘"(x0)=0，若在x0两侧附近f‘"(x0)异号，则点(x0,f(x0))为曲线的拐点。否则(即f‘"(x0)保持同号，(x0,f(x0))不是拐点。

　　当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点。

　　若函数y=f(x)在c点可导，且在点c一侧是凸，另一侧是凹，则称c是函数y=f(x)的拐点。另外，如果c是拐点，必然有f""(c)=0或者f""(c)不存在;反之则不成立;比如，f(x)=x^4，有f""(0)=0，但f""(x)=12x^2在整个定义域内恒大于0，所以0不是函数f(x)=x^4的拐点，且整个函数在R上是凹的。

　　拐点的求法(摘录自高等数学同济5版上册第149页)

　　可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：

　　⑴求f""(x);

　　⑵令f""(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f""(x)不存在的点;

　　⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f""(x)在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0,f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0,f(x0))不是拐点。

　　例如，y=x^3,y"=3x^2,y""=6x，解出x=0时，y"=0,y""=0：y在(负无穷大，0)上为增函数，y""<0，函数曲线为凸函数;y在(0，正无穷大)上为增函数，函数y"">0，函数曲线为凹函数。但y全区间函数为增函数，拐点在这里说明的只是函数曲线凹凸分界点。

　　生活

　　在生活中，拐点多用来说明某种情形持续上升一段时间后开始下降或回落。在数学上这句话是错的，这种点叫极值点、稳定点或者叫驻点;所以，有了经济的拐点，房地产的拐点，以及股市的拐点。

　　其他解释

　　中国人民大学喻国明教授关于“拐点”的解释

　　所谓“拐点”，原是高等数学中的一个概念，应用到传媒领域，是指中国媒介改革还存在很大的增量空间。但是，如果按照现行的发展模式、发展框架发展下去而不做变革，这种增量空间就很难得到挖掘。